KANSREKENING EN STATISTIEK
J. de Ruiter
2022
Toelichting bij deze syllabus
Deze syllabus is samengesteld op grond van de ervaringen die de auteur heeft opgedaan bij het geven van jarenlang onderwijs in het vak KANSREKENING EN STATISTIEK in het HBO. Deze ervaringen betreffen met name de volgende punten:
- Er moet in voldoende mate aandacht aan interessante en toegankelijke toepassingen worden geschonken.
- In het bijzonder moeten ook de wiskundige vraagstukken en de dilemma’s uit de geschiedenis behandeld worden die bijgedragen hebben aan de ontwikkeling van deze discipline.
- De wiskundige theorie moet correct zijn, maar niet onnodig ver gaan.
Deze syllabus bevat nog geen oefenmateriaal en is dus nog niet geschikt als leerboek voor het HBO. Wel hoopt de auteur hiermee een relevante voorzet voor de inhoud van de theorie in een dergelijk leerboek te geven.
Copyright: zonder toestemming van de auteur mag niets uit deze syllabus worden overgenomen.
Geïnteresseerden kunnen contact met de auteur opnemen. Zie CONTACT.
Inleiding
We leggen de volgende vijf problemen voor.
a. Het driedeurenprobleem
Een probleem dat publieke bekendheid kreeg door spelshows op tv, o.a. van Monty Hall in Amerika en Willem Ruis in Nederland.
Het probleem komt op het volgende neer:
De quizwinnaar mag kiezen uit drie deuren. Achter een van de drie deuren zit een grote prijs, achter de andere twee deuren zit niks. Als de deelnemer nu een van de drie deuren aanwijst (maar nog niet geopend heeft), opent de quizmaster (die weet waar de prijs zit) een deur waarachter de prijs niet zit. De quizmaster biedt de deelnemer de gelegenheid alsnog de overblijvende deur te kiezen.
Wat moet de deelnemer nu doen?
De meeste mensen denken intuïtief dat dit niets uitmaakt. De quizmaster opent een deur waar geen prijs achter zit. De prijs zit dus achter een van de twee andere deuren, waarvan een al aangewezen is door de deelnemer. Wat maakt het dan uit of je nog wisselt? Echter, als je wel wisselt, dan neemt de kans op de prijs toe van 1/3 naar 2/3!
Voor veel mensen blijft het moeilijk om te geloven dat de intuïtieve redenering fout is, ook na de nodige uitleg.
b. Het verjaardagprobleem
In een zaal bevinden zich n personen.
Hoe groot is de kans dat minstens twee personen op dezelfde dag jarig zijn?
Wat blijkt? Bij n = 23 is deze kans al meer dan 50%. Bij n = 41 zelfs al meer dan 90%!
c. Het krentenprobleem
Een bakker deed eens het volgende experiment: hij maakte deeg voor 100 broodjes en mengde daarin precies 100 krenten. Na nauwkeurig mengen werden de broodjes gebakken.
Hoeveel broodjes zullen nu 0 krenten bevatten?
Wat bleek? 37 broodjes bevatten 0 krenten!
Wat zegt de kansrekening nu m.b.t. dit experiment?
d. Testen op besmetting
Van een bepaald virus is bekend dat 1% van de populatie ermee besmet is. Van een bepaalde test weten we dat 95% van de besmetten positief reageert en 6% van de onbesmetten.
Als iemand positief reageert, wat is dan de kans dat er werkelijk sprake is van besmetting?
Het anwoord is: deze kans is 13,8%!
e. Zero knowledge
A heeft twee ballen, een rode en een groene. B is kleurenblind en wil niet geloven dat de kleuren verschillend zijn. Een methode om B te overtuigen is de volgende:
B krijgt beide ballen in zijn handen. A kijkt niet en B mag dan naar keuze beide ballen wel of niet verwisselen. Daarna mag A weer kijken om te vertellen of B wel of niet de ballen heeft verwisseld. Dit wordt verscheidene keren herhaald en elk keer moet A weer zeggen of de ballen verwisseld zijn of niet.
Als beide ballen dezelfde kleur zouden hebben, dan zou A elke keer moeten raden of er wel of niet verwisseld is. Dat gaat A niet elke keer lukken. Maar het gaat A wel elke keer lukken. Dus B moet concluderen dat de ballen verschillend van kleur zijn.
Bij zogeheten ‘zero knowledge-bewijzen gaat het om technieken om te bewijzen dat je kennis hebt van bepaalde geheime informatie, zónder die informatie openbaar te maken. Ze zijn onmisbaar in de bankenwereld: als je de bank bezoekt – aan het loket of digitaal – moet de bank kunnen verifiëren wie je bent. Je toetst een code in, maar om veiligheidsredenen heeft de bank jouw persoonlijke code niet opgeslagen. Kan de bank een code controleren die hij zelf niet kent? Ja, is het antwoord, dankzij "zero knowledge".
De vijf voorgaande voorbeelden maken duidelijk dat kans een begrip is dat vaak schuurt met onze intuïtie, maar dat er ook veel toepassingen zijn waarmee concrete problemen opgelost kunnen worden.
Kansrekening heeft een lange weg doorlopen in de geschiedenis van de wiskunde. Uiteindelijk is dit een serieus onderdeel van de zuivere en toegepaste wiskunde geworden.
In dit document is getracht een inleiding in dit onderdeel van de wiskunde te geven waarbij:
- de onderliggende wiskunde correct is,
- de probleemstellingen heel concreet zijn,
- de lezer de belangrijkste hoofdstukken uit de kansrekening en statistiek voorgeschoteld krijgt,
- de lezer niet onnodig abstracte begrippen voorgelegd krijgt die weliswaar bij verdere studie van kansrekening en statistiek relevant zijn, maar in eerste instantie nog niet direct een rol spelen,
- meer specialistische statische methoden niet behandeld worden.
Toevalsexperimenten kunnen eindig veel, aftelbaar oneindig veel of overaftelbaar veel mogelijke uitkomsten hebben. De ontwikkeling van de kansrekening is begonnen met het bestuderen van toevalsexperimenten die slechts eindig veel mogelijke uitkomsten hebben. Pas later is de theorie verder uitgebreid voor toevalsexperimenten met oneinig veel uitkomsten. Met name de stap naar overaftelbaar veel mogelijke uitkomsten bleek een stevige theoretische uitdaging te zijn. Bijv. omdat hier niet meer een kans aan afzonderlijke uitkomsten toegekend kan worden, maar alleen aan bepaalde verzamelingen van uitkomsten (gebeurtenissen genoemd).
In de laatste paragrafen zullen we ons beperken tot die delen theorie die betrekking hebben op toevalsexperimenten met oneindig veel mogelijke uitkomsten, maar alleen voor zover het om concrete en realistische toepassingen gaat en zullen we verdergaande en abstractere onderdelen van de theorie vermijden.
Inhoud
Kansrekening en Statistiek
J. de Ruiter
Februari 2022
Inhoud
0. Inleiding
1. Toevalsexperimenten met een eindig aantal uitkomsten
2. Combinatoriek
3. Interessante problemen uit de geschiedenis
4. Toevalsvariabelen
5. Toetsen van hypothesen
6. Het statistische alternatiefprobleem
7. Exacte test van Fisher
8. Binomiale verdeling
9. Polynomiale verdeling
10. Chi-kwadraat toets
11. Benadering van de binomiale verdeling door de Poisson-verdeling in bep. gevallen
12. Benadering van de binomiale verdeling door de normale verdeling in bep. gevallen
12.1) Betrouwbaarheidsinterval van een schatting
12.2) Bepaling van de steekproefgrootte
12.3) Zwakke en sterke wet van de grote aantallen
13. Hypergeometrische verdeling
14. Pascal-verdeling
15. Meer kansverdelingen
16. Toevalsexperimenten met aftelbaar oneindig veel uitkomsten
17. Toevalsexperimenten met overaftelbaar veel uitkomsten
18. Momenten
19. Verdelingsfuncties
20. Normale verdelingen
21. Steekproeven
22. Axiomatische opbouw van de kansrekening
23. Het hanteren van het begrip kans buiten de wiskunde
De volledige syllabus vindt u in dez pdf:
