Veel media hebben hier destijds aandacht aan besteed.

Dit bericht kwam ik in december 2019 tegen. Uiteraard heb ik direct op Google gekeken wat ik hier nog meer over kon vinden. Dat was niet veel meer dan allerlei herhalingen van dit bericht.

Als wiskundige en gedreven fan van het oplossen van extreem moeilijke sudoku’s was ik natuurlijk direct gegrepen door dit bericht. Ik heb in de afgelopen jaren heel wat vrije tijd besteed aan het oplossen van extreem moeilijke sudoku’s en uiteindelijk is het mij gelukt een oplossingsmethde te vinden die volgens mij toereikend is voor elke sudoku, hoe moeilijk ook.

Deze methode kunt u ook op deze website vinden, samen met enige uitgewerkte voorbeelden.

Toen ik dus het bericht las over deze sudoku, was ik direct gegrepen door de vraag in hoeverre mijn oplossingsmethode toereikend zou zijn om deze sudoku te kraken. Als dit zou lukken, dan lijkt het mij voldoende bewezen dat mijn oplossingsmethode inderdaad effectief is voor elke sudoku. Als dit echter niet zou lukken, dan is het mij wel duidelijk dat het hier om een sudoku gaat die met kop en schouders boven alle andere sudoku’s uitsteekt.

 

Dus zeer gemotiveerd aan de slag gegaan.

Allereerst heb ik gekeken of er lege velden zijn die met enige moeite alsnog ingevuld kunnen worden. Die waren er niet, zoals te verwachten was.

Toen nagegaan of er lege velden zijn waar slechts twee cijfers mogelijk zijn. Ik kon maar één veld vinden waar dat het geval was, nl. het 7e veld in de 8e rij. Hier kunnen alleen maar de cijfers 3 en 9 staan. Dit is de eerste plek waar zich maar twee mogelijkheden voordoen.

Vervolgens nagegaan of er rijen, kolommen of deelvierkanten zijn waarbij een bepaald cijfer nog slechts in twee velden kan staan. Dit blijkt vier keer voor te komen.

   - In de 2e kolom kan het cijfer 8 alleen op de 5e en de 6e positie staan (tweede plek).

   - In de 5e kolom kan het cijfer 5 alleen op de 1e en de 2e positie staan (derde plek).

   - In de 6e rij kan het cijfer 7 alleen op de 1e en de 3e positie staan (vierde plek).

   - In de 6e rij kan het cijfer 5 alleen op de 7e en de 9e positie staan (vijfde plek).

Dit zijn nog eens vier plekken waar zich ook twee mogelijkheden voordoen.

Samen betekent dit dat we vijf plekken kunnen aanwijzen waar slechts twee mogelijkheden zijn.

Als we alle mogelijke sudoku’s zouden willen bestuderen die hieruit voortvloeien, dan komen we uit op 2x2x2x2x2 = 32 mogelijke sudoku’s.

We moeten dan 32 sudoku’s bestuderen die elk 5 cijfers meer bevatten dan de sudoku van Arto Inkala. Dat is waarschijnlijk prima te doen, maar we moeten dan wel 32 sudoku’s bestuderen.

Op grond van mijn ervaring met het oplossen van extreem moeilijke sudoku’s schat ik in dat 3 extra cijfers mij in staat zullen stellen de bijbehorende sudoku’s te bestuderen. Daarom kies ik voor uitsplitsing van de sudoku van Arto Inkala in 2x2x2 = 8 mogelijke sudoku’s.

Voor de vijf plekken waar zich de twee mogelijkheden voordoen, kies ik de plekken 1, 4 en 5.

Waarom deze drie plekken nu juist? Hier heb ik geen zwaarwegende argumenten voor, ik hoop alleen dat dit een goede keuze is. Als dit niet het geval blijkt te zijn, dan ga ik gewoon over op een andere keuze. In totaal zijn 10 keuzes mogelijk.

 

De 8 mogelijke sudoku’s die het gevolg zijn van de genomen keuze heb ik stuk voor stuk apart onderzocht. En wat bleek? Mijn oplossingsmethode, zoals ook op deze site beschreven, werkte perfect. De 8 sudoku’s bleken in moeilijkheidsgraad vergelijkbaar te zijn met de sudoku’s uit het Nederlands tijdschrift Sudoku 12 –13* cum laude (Denksport). Dit soort sudoku’s los ik zonder problemen op, ook al heb ik dan soms wel een paar uur per sudoku nodig.

Voor de 8 mogelijke sudoku’s heb ik in totaal ca. 8 x 2 uur = 16 uur nodig gehad.

Zoals te verwachten viel, bleken 7 van deze 8 sudoku’s geen oplossing te hebben en 1 had precies één oplossing.

 

Opmerking
In feite hebben we hier stap 4 van de aanbevolen methode toegepast.
Suggestie
Een goede oefening is om nu zelf eens te proberen deze 8 sudoku's zelf te kraken met de methode die ik beschreven heb.
Als u daarin geslaagd bent en u meldt mij dat per mail, dan vermeld ik uw naam hier op deze site.
E-mail: jderuiter08@gmail.com

 

Oplossingsmethode W.H.A. Schilders

1. de Ruiter

Juli 2020

 

Verwijzing

Het boek van W.H.A. Schilders, in 2020 in drie delen verschenen:

• Los elke sudoku op – Sudoku oplossen in 9 stappen
• Medium sudoku’s oplossen – Oplossen van sudoku’s met 69 sterren / stippen
• Moeilijke sudoku’s oplossen – Oefenmateriaal met uitleg voor lastige sudoku’s

 

1e deel: Sudoku oplossen in 9 stappen.

 

De eerste 8 stappen betreffen elementaire stappen die vrij algemeen bekend zijn. Tevens wordt gewezen op de bruikbaarheid van een kruis (of X-wing) indien aanwezig en herkend door de puzzelaar. Echt interessant wordt het pas als stap 9 wordt behandeld. Een laatste redmiddel, schrijft de auteur.

Dit houdt in: een getallenpaar kiezen; als het ene getal tot een tegenspraak leidt, dan moet het andere getal dus juist zijn. Eventueel kan men alle getallenparen afgaan. Vervolgens wordt een systematische manier beschreven om deze methode te gebruiken. De schrijver legt deze uit aan de hand van een voorbeeld en als resultaat zien we dan een lange, omstandige en administratief ingewikkelde weg die naar de oplossing leidt. Maar het gekozen voorbeeld is helaas wel een sudoku die niet moeilijk te noemen is. De meerwaarde van deze methode komt dus niet goed uit de verf en het blijft ook nog wat vaag wat het laatste redmiddel nu precies inhoudt.

 

Een alternatief voor het laatste redmiddel

Vervolgens vraagt de schrijver zich af of er niet een alternatief is voor deze systematische manier die nogal omslachtig is. Dit is er volgens de schrijver. Kies een geschikt getallenpaar en werk beide getallen van dit paar wat verder uit. Dan kan het zijn dat deze twee uitwerkingen tot gelijke invulling van een of meer nog lege velden leiden. Deze invullingen zijn dan dus juist en dus is de oplossing van de sudoku dan wat verder opgeschoten.

Het is duidelijk dat hier sprake is van een krachtig hulpmiddel. De schrijver geeft echter maar enkele voorbeelden van vrij eenvoudige sudoku’s die na één keer toepassen van dit alternatief al meteen opgelost zijn.

 

Daarom is het interessant om het derde deel van zijn boek erbij te pakken om te zien hoe ver de reikwijdte van dit alternatief strekt.

 

3e deel: Oefenmateriaal met uitleg voor lastige sudoku’s.

 

Het 3e deel bevat in totaal 43 sudoku’s waarvan 31 met een toelichting bij de oplossing.

De auteur maakt hierbij uitsluitend gebruik van de alternatieve oplossingsmethode uit stap 9.

 

Puzzel 1 t/m 24: 24 sudoku’s met volledige uitleg

5 oefenpuzzels met korte uitleg

De sudoku van Arto Inkala (een van de moeilijkste sudoku’s ter wereld)

In 2012 gepubliceerd als een van de allermoeilijkste sudoku’s ter wereld. Een eerste invulling levert geen enkel cijfer op en slechts één getallenpaar, nl. 39 in (R8,K7). Dus hier is direct duidelijk dat deze puzzel een stuk gecompliceerder zal zijn!

De auteur gaat uiteraard deze uitdaging aan. Na een redenering die in hoge mate onvolledig is meldt de auteur vervolgens opgewekt dat de moeilijkste sudoku ter wereld nu is opgelost en dat dit bewijst hoe krachtig de methode is! De hier gevolgde redenering kan echter geen oplossing genoemd worden! Met een oplossingsmethode bedoelen we dat we op grond van logische redenering concluderen welke invullingen in een nog leeg veld toelaatbaar zijn en welke niet. In de “oplossing” van Schilders worden echter tot drie keer toe wel aanwezige mogelijkheden gewoon genegeerd en niet onderzocht.

Een nog moeilijker sudoku

De auteur stelt voor om hier een veld te zoeken waar slechts 3 cijfers mogelijk zijn met bovendien de eigenschap dat elk van deze drie cijfers na invulling leidt tot een sudoku met minstens een getallenpaar. Dan ontstaan drie sudoku’s die net als de sudoku van Arto Inkala kunnen worden bestudeerd. Naar verwachting zullen dan twee van de drie keuzes tot een tegenspraak leiden en de andere tot een oplossing.Dit is verbazingwekkend te noemen voor de aandachtige lezer!

Opmerking

Als deze sudoku nog moeilijker is dan de beruchte sudoku van Arto Inkala, dan ligt het eerder voor de hand de sudou op te splitsen in 4 of nog meer sudoku's. Getallenparen lijken niet te vinden, maar er zijn direct al 5 andersoortige paren aan te wijzen. Dus hier liggen heel wat mogelijkheden. 
 

12 extra sudoku’s om te oefenen

 

Conclusies

 

In totaal staan er 43 sudoku’s in deel 3. Van de eerste 29 sudoku’s zijn slechts een paar wat lastiger. Van de laatste 12 sudoku’s (de extra oefensudoku’s zonder toelichting) zijn hooguit een paar echt moeilijk.

Het aantal echt moeilijke voorbeelden is dus beperkt.
De sudoku van Arto Inkala is hier echter niet opgelost.

 

De zgn. alternatieve methode (stap 9) is een verrassende en significant grote stap voorwaarts bij het oplossen van minder eenvoudige sudoku’s. Deze stap voorwaarts houdt dus in dat men een stuk verder kan komen als men een geschikt getallenpaar kiest en beide cijfers van dat paar een stuk verder probeert uit te werken. Dan kan het gebeuren dat beide cijfers leiden tot dezelfde invulling van een of meer nog lege velden (treffers) en daarmee is die invulling dus juist. De auteur vermeldt niet expliciet dat het beter is deze invulling altijd zover mogelijk door te voeren. Als een van de cijfers leidt tot een tegenspraak dan kan het andere cijfer dus ingevuld worden en heb je ook alle uitwerkingen die daaruit volgen. Het kan ook voorkomen (zelfs bij extreem moeilijke sudoku’s) dat een van de beide cijfers leidt tot de volledige invulling van de sudoku. Dat is dan dus een oplossing. De auteur noemt dit een gelukje, maar feitelijk horen we dan nog wel te bewijzen dat het andere cijfer tot een tegenspraak voert. Als dat niet direct lukt, dan kiezen we bij dat andere cijfer ook een getallenpaar en dan zullen we moeten laten zien dat beide cijfers van dat getallenpaar tot een tegenspraak leiden.

Als een gekozen getallenpaar ons niet verder brengt, dan kan weer een nieuw getallenpaar worden gekozen.

 

De auteur wekt bij herhaling de indruk dat met deze aanpak (stap 9 en dan de alternatieve methode) elke sudoku (hoe moeilijk dan ook) opgelost kan worden. Dit is helaas niet het geval. Men kan heel ver komen met deze methode, zeker na langdurige ervaring hiermee opgedaan te hebben, maar op een gegeven moment komt men sudoku’s tegen die deze methode niet aankan. Dat gebeurt al als men een nummer van het tijdschrift “Sudoku 12-13* cum laude” uit de serie Denksport ter hand neemt en dan alle 88 sudoku’s met deze methode probeert op te lossen. Een aantal zal men kunnen oplossen, een aantal ook echter niet. Voor het tijdschrift Sudoku 14-15* Summit geldt dat nog in sterkere mate.

Wat ontbreekt aan de methode zijn nog twee belangrijke uitbreidingen

 

Uitbreiding 1

De kern van de alternatieve methode is dat men getallenparen kiest en beide cijfers verder uitwerkt. En dit de nodige keren herhaalt. Maar soms zijn er bijna geen getallenparen om te kiezen of te weinig getallenparen die ons verder helpen. Belangrijk is om in te zien dat de essentie van een getallenpaar is dat het om twee elkaar uitsluitende mogelijkheden gaat. Maar die essentie is ook aanwezig als we een rij, kolom of deelvierkant kunnen aanwijzen met de eigenschap dat een bepaald cijfer nog maar in 2 van de 9 velden past. Dus dergelijke paren van twee mogelijkheden zijn net zo goed bruikbaar als getallenparen. Dit betekent dat we meer keuzemogelijkheden hebben.

Eem voorbeeld: de sudoku van Arto Inkala (2012) heeft slechts 1 getallenpaar, maar zeker 4 paren van twee mogelijkheden, zoals u zelf kunt nagaan. We hebben dus de keuze uit zelfs 5 paren.

 

Uitbreiding 2

Als een sudoku extreem moeilijk is, dan kan de situatie voorkomen dat van geen enkel getallenpaar c.q. paar van 2 mogelijkheden beide kandidaten wat verder uit te werken zijn. Een goede optie is dan om  2 paren te combineren en dus 4 sudoku’s te onderzoeken.

 

In  het derde deel van het boek van de auteur komen maar weinig echt moeilijke sudoku’s voor, zodat oplossing steeds lukte met de alternatieve methode zonder deze twee uitbreidngen.

 

U kunt hier de gedetailleerde bespreking van het 3e deel van het boek van Wilders vinden:

Oplossingsmethode W.H.A. Schilders.pdf